浅谈理想 – Choimoe 的小窝

本文除了复习内容外公式含量内容极少，可作为科普文章阅读。

复习

大家在课堂上想必都学过理想的概念：

$(R,+,\cdot)$ 是一个环， $I\subset R$ ，若：

$(I,+)$ 为 $(R,+)$ 的子群；

理想在乘法下“吸收”了整个环到理想：

$\forall a\in I, \forall r\in R$ 有 $ra \in I$ ，则称 $I$ 为 $R$ 的左理想；

$\forall a\in I, \forall r\in R$ 有 $ar \in I$ ，则称 $I$ 为 $R$ 的右理想；

若 $I$ 既是 $R$ 的左理想，又是 $R$ 的右理想，则称 $I$ 为 $R$ 的理想（下记 $I \lhd R$ ）。

也可以类似正规子群的定义，将理想看为环同态的核。

以及学习了素理想与极大理想的概念：

$(R,+,\cdot)$ 为交换环：

$\mathfrak{p}\lhd R$ ，若 $\mathfrak{p} \neq R$ 且 $\forall a,b\in R, (ab\in \mathfrak{p} \Leftrightarrow a\in \mathfrak{p}$ 或 $b\in \mathfrak{p})$ 则称 $\mathfrak{p}$ 为素理想。

$\mathfrak{m}\lhd R$ ，若 $\mathfrak{m} \neq R$ 且 $\forall I \lhd R$ ，有 $I \supsetneq \mathfrak{m} \Rightarrow I=R$ ，则称 $\mathfrak{m}$ 为极大理想。

然后一步步优化环的性质到域：

环： $(R,+,\cdot)$ 。
交换环： $R$ 对乘法有交换律。

$\mathfrak{p}$ 为极大理想 $\Rightarrow$ $\mathfrak{p}$ 为素理想 $\Leftrightarrow$ $R/\mathfrak{p}$ 为整环。
整环：有乘法单位元无零因子的交换环。

$a|b\Leftrightarrow (b)\sub (a)$ 。
最大公因数整环： $\forall a,b\neq 0,\exist \gcd(a,b)\in R$ 。

$(m)+(n)=(\gcd(m,n));\quad (m)\cap(n)=(\text{lcm}(m,n))$ 。
唯一分解整环（唯一析因环）：每个非零元素都可以唯一地被分解为有限多个不可约元素的乘积。
主理想整环：所有理想都是主理想（ $I=(a)=Ra$ ）。

$\mathfrak{p}$ 为素理想 $\Rightarrow$ $\mathfrak{p}$ 为极大理想。
欧几里得整环：带余除法。
域：可交换的除环 $\Leftrightarrow$ ${0}$ 与 $R$ 是 $R$ 中唯二的理想。

背景 & 引入

算术基本定理：大于1的自然数可以唯一分解成有限个素数的乘积。这个定理在数论中相当重要，把整数环上的基本定理推广到一般环上却出现了问题：例如在 $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ 上有 $6 = 2 \times 3=(1 + \sqrt{-5}) \times (1 - \sqrt{-5})$ ，且这四个元素都是不可约的（需要证明一下）。

而1830年 Galois 用群的观点来确定多项式方程的可解性，数学家们发现群论在数论中的应用潜力，他们开始寻找数论中“素数”的概念，并试图将算术基本定理推广。Kummer 在1844年发表了分圆域中唯一分解定理不成立的性质。Dedekind 接着提出了“代数整数”的概念：能够成为某个首一整数系数多项式的根的数，且代数数域 $F$ 中所有代数整数构成一个环，称为 $F-$ 整数环 $\mathcal O_F$ ，例如 $\mathbb Q$ 上的代数整数环为 $\mathbb Z$ 。但是 $\mathcal O_F$ 与 $\mathbb Z$ 有不同的性质，其不一定为唯一分解整环。例如 $F=\mathbb Q[\sqrt{-5}]$ 的整数环为 $\mathcal O_F=\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ 。

根据上一段的两种分解方式可见，有理整数的唯一分解性质在不少代数数域的整数环中失效。Kummer 注意到了这一点，提出了理想数的概念（更多故事详见下章“费马大定理与理想”）。他在1877年的著作中，以 $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ 作为例子，他令： $\begin{aligned} (2)=\alpha^2,(3)=\beta_1\beta_2&;(1+\sqrt{-5})=\alpha\beta_1,(1-\sqrt{-5})=\alpha\beta_2\newline \alpha^2\cdot \beta_1\beta_2&=(6)=\alpha\beta_1\cdot \alpha \beta_2 \end{aligned}$ 他并没有明确定义理想数，他从这写例子推断出可能存在这样的“理想因子”，实际上真正的理想的概念已经呼之欲出了。Dedekind 根据他的想法，证明这些“理想因子”可以通过一组实际数字来实现，于是他将这些集合称为理想。而 Kummer 所猜想的环也被他完善成 Dedekind整环，在Dedekind整环中，任意理想可以唯一地分解成素理想之积。

环 $A$ 被称为 Noether环，当且仅当由 $A$ 理想构成的升链 $\mathfrak a_1 \sub \mathfrak a_2 \sub \dots \sub \mathfrak a_n \sub \dots$ ，必存在 $N\in \mathbb N$ ，有 $\forall n,m\geq N$ ，都有 $\mathfrak a_n=\mathfrak a_m$ ；或者说 $A$ 的每个理想都是有限生成的。

素理想链的最大长度等于 $1$ 的Noether整闭整环被称为 Dedekind整环。

上面更加严谨的说法为Dedekind整环 $R$ 上每个非平凡理想 $\mathfrak a$ 均可被唯一地表示为素理想 $\mathfrak p_1,\dots,\mathfrak p_s$ 的乘积。

费马大定理与理想

Kummer 主攻数论方向，研究费马猜想与高次互反律。

1847年3月1日，Gabriel Lamé宣布，他已经找到了费马猜想的完整证明（他在早些时候证明了 $n=7$ 的情况），提供的方法涉及 “Roots of Unity”，也就是复数 $\alpha^n=1$ 且 $\alpha \neq \pm 1$ 。证明基于下面的等式，本质是说明每个 $x+\alpha^ky$ 与其他项互质。 $x^n+y^n=(x+y)(x+\alpha y)\dots(x+\alpha^{n-1}y)$ Lamé 声称这份证明很大程度基于 Liouville 的工作，但是 Liouville 认为对于 “Roots of Unity” 的唯一分解的假设并非合理。Cauchy 对 Lamé 的方法很乐观，他宣布他讲用类似的技术解决费马猜想。

3月15日，Pierre Wantzel 宣布他证明了这个假设，具体证明包含 $n=2$ 与 $n=3$ 下的独特因式分解，然后声称 显然有 $n\geq 4$ 成立。不久之后，Cauchy 证明他的方法并不使用 $n\geq 4$ 。

此时 Lamé 的证明距离费马猜想的答案看起来只差一步 $n\geq 4$ 的唯一分解的成立了，于是 Lamé 和 Cauchy 开始竞争这个证明。3月22日，两人向巴黎学院递交证明。不幸的是，正如我们所知，群论的证明在于细节，唯一分解的证明比他们预见的还要复杂。而5月24日，Liouville 在他的杂志上重新刊登了 Kummer 在1844年的证明，宣告 Lamé 证明是错误的。

但是 Kummer 认为还有补救的空间，据此还提出了“理想数”的概念，他将代数整数的素数分解不唯一的概念量化为类数： $h_p$ ，并证明了如果 $h_p$ 不能被 $p$ 整除（这样的 $p$ 被称为正规素数）那么费马的猜想对于 $n = p$ 是成立的。通过检验 $100$ 以下的素数，除了三个“不正规”的：37、59和67，他证明了其他素数，费马猜想都是正确的。现在看来这种思路实际上是用一种特殊的方式，构造了分圆整数环到有限域的同态（严谨一点说，其实是相关的估值），他的发现成为费马猜想推广的重大突破。也成为今天所谓的代数数论的基础。

20世纪后，Kummer 关于分圆域的类数的理论被岩泽健吉推广为岩泽理论，然后被应用到 motive 理论中。

后记

Kummer 自称 Dirichlet 是他真正的老师，他的第一任妻子为 Dirichlet 妻子的表妹。他带过很多学生，其中有两个比较出名：

Frobenius：证明了群论的Sylow定理，提出Frobenius自同态（ $x\mapsto x^{p}$ ）、Frobenius范数（ $|A|_F=\sqrt{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2}=\sqrt{\text{trace}(A^{{}^*} A)}$ ）等。
Kronecker：提出Kronecker–Weber定理（若 $K/\mathbb Q$ 为有理数集 $\mathbb Q$ 的有限阿贝尔扩张，则 $K$ 是一个分圆域的子域），Kronecker引理等。
Schwarz：提出Schwarz定理（ $f:\mathbb R^n\to \mathbb R$ 在一点有连续二阶偏导数，则在此点偏导数交换）、Schwarz引理（关于全纯函数的刚性）、Schwarz-Christoffel映射（复平面的变换）、Schwarz三角形（用于镶嵌的球面/双曲面三角形）、Cauchy–Schwarz不定式（ $|v||w|\geq |\langle v,\,w\rangle |$ ）等。